منبع علمی مقاله user8247

نهان نگاری کور: در نهان نگاری کور ،فرآیند استخراج نهان نگار فقط نیازمند تصویر نهان نگاری شده می باشد و به تصویر اصلی و هیچ یک از ویژگی های آن وابسته نیست . به این نوع از سیستم نهان نگاری ، نهان نگاری عمومی گفته می شود .
نهان نگاری غیر کور : در نهان نگاری غیر کور یک کپی از تصویر اصلی به همراه تصویر نهان نگاری شده برای استخراج علامت نهان نگار مورد نیاز می باشد. خروجی این نوع سیستم نهان نگاری بسته به وجود یا عدم وجود نهان نگار در تصویر نهان نگاری شده به صورت بلی یا خیر می باشد. از این سیستم انتظار می رود تا مقاومت بیشتری داشته باشد . به این طرح نهان نگاری ، نهان نگاری خصوصی گفته می شود
نهان نگاری نیمه کور : این سیستم نهان نگاری همانند سیستم نهان نگاری کور بدون اینکه نیاز به تصویر اصلی باشد خروجی می دهد. این سیستم در مقایسه با سیستم نهان نگاری کور ، نیاز به یک سری اطلاعات ، مانند اندازه تصویر اصلی برای کشف نهان نگار نیاز دارد . با این حال این روش دارای یک نقطه ضعف بزرگ در مقابل دو سیستم ذکر شده در بالا می باشد وآن مقاومت ضعیف آن می باشد . [8]
تکنیک های نهان نگاری با توجه به حوزه کاری می توانند به دو دسته تقسیم بندی شوند :

شکل 2 - SEQ شکل_2_-_ \* ARABIC 3 تکنیک های پنهان سازی اطلاعات [3]
تکنیک های نهان نگاری متفاوت در شکل 2-3 نشان داده شده است . بسته به نوع سند تکنیک های نهان نگاری به چهار دسته تقسیم می شوند که عبارتند از نهان نگاری متن ، تصویر ، صوت وفیلم. نهان نگاری تصاویر که موضوع مورد بررسی ما در این پایان نامه می باشد خود به دو دسته کلی تقسیم می شود که عبارتند از :
تکنیک های حوزه فرکانس (انتقال )
در روش های حوزه فرکانس ابتدا تصویر به یکی از حوزه های فرکانسی انتقال یافته و سپس نهان نگاری با دستکاری مقادیر در حوزه فرکانس انجام می گیرد و در نهایت تصویر به حوزه مکان باز گردانده می شود.
تکنیک های حوزه مکان
در روش های حوزه مکان برای گنجاندن شی دیجیتال مورد نظر مقادیر پیکسل ها، بطور مستقیم دستکاری می شوند. این روش ها پیچیدگی کمتری دارند، شکننده ترند و قوی نیستند. تکنیک های جایگزینی بیت کم ارزش ، طیف گسترده ، در هم آمیخته و غیره نمونه هایی از روش های نهان نگاری این حوزه می باشند .
در مقایسه با تکنیک های حوزه مکان ثابت شده است که تکنیک های حوزه فرکانس در دست یافتن به الگوریتم های نهان نگاری دیجیتال از لحاظ غیر قابل مشاهده بودن و نیازمندی مقاومت (استحکام ) دارای عملکرد بهتری می باشند. انتقال های حوزه فرکانس که عموماً در الگوریتم های نهان نگاری تصاویر دیجیتال مورد استفاده قرار می گیرد شامل انتقال های زیر است: تبدیل کسینوسی گسسته ، تبدیل فوریه گسسته ، تبدیل موجک گسسته ، تبدیل سریع هادامارد و تجزیه مقدار منفرد ، تبدیل موجک چندگانه گسسته و غیره .
بطور کلی این مطلب مورد تأیید است که روش های حوزه فرکانس در برابر حملات رایج پردازش تصویر قوی تر از تکنیک های حوزه مکان عمل می کنند .[3] بنابراین در قسمت بعدی به بررسی و آنالیز در حوزه فرکانس می پردازیم و در انتها تبدیل موجک گسسته و تبدیل موجک چندگانه را مورد بررسی قرار می دهیم .
3-2 آنالیز در حوزه فرکانس
1-3-2 مقدمه
اکثر سیگنال های مورد استفاده در عمل، در حوزه زمان هستند. به عبارت دیگر، درا یه های سیگنال، جدای از آنچه سیگنال مورد بحث اندازه گیری میکند ، تابعیت زمانی خواهد داشت. بدین سان به هنگام رسم سیگنال، دامنه مقادیر مختلف سیگنال بر حسب زمان رسم می گردند. طبیعتاً این نحوه نمایش، بهترین شکل برای توصیف یک سیگنال نخواهد بود. در بسیاری موارد، اطلاعات سودمند سیگنال در محتوای فرکانسی آن نهفته اند که اصطلاحاً به آن، طیف سیگنال گفته میشود. به بیان ساده، طیف یک سیگنال نشان دهنده فرکانس های موجود در آن سیگنال است. جهت دست یابی یه این اطلاعات نهفته شده در درون سیگنال تبدیلات ریاضیاتی متنوعی در طول سال های متمادی معرفی شده اند تا ما را در رساندن به مقصود یاری کنند . [9]
تبدیل موجک یکی از پرکاربردترین تبدیلات ریاضی در حوزه پردازشی و به ویژه پردازش سیگنال و تصویر می باشد. با توجه به ماهیت آنالیز چندرزولوشنی، این تبدیل جای خود را در بسیاری از کاربردهای پردازشی باز کرده است و بعضاً به عنوان توانمندترین ابزار رخ می نماید. در ادامه این فصل مبانی ریاضی تبدیل موجک مرور خواهد شد. بدین منظور برای درک بهتر مفاهیم تبدیل موجک در ابتدا تبدیل فوریه به اختصار توضیح داده شده و سپس با بیان کاستی های آن، تبدیل فوریه زمان کوتاه بررسی می گردد. در نهایت به تبدیل موجک خواهیم پرداخت و به روابط ریاضی آن اشاره خواهیم کرد .
2-3-2 تبدیل فوریه در ﻗﺮن 19 ﻣﻴﻼدی، ﻳﻚ رﻳﺎﺿﻲدان ﻓﺮاﻧﺴﻮی ﺑﻪ ﻧﺎم ﺟﻮزف ﻓﻮرﻳﻪ ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺘﻨﺎوب را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﺠﻤﻮع ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻲ از ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ و ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ (و ﻳﺎ ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺘﻨﺎوب ﻣﺨﺘﻠﻂ) ﻧﻮﺷﺖ. ﺳﺎلﻫﺎ ﺑﻌﺪ از ﻛﺸﻒ اﻳﻦ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺷﮕﻔﺖاﻧﮕﻴﺰ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺘﻨﺎوب، اﻳﻦ اﻳﺪه ﺗﺤﺖ ﻋﻨﻮان ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﻪ ﺳﺎﻳﺮ ﺗﻮاﺑﻊ ﻧﻴﺰ ﺗﻌﻤﻴﻢ داده ﺷﺪ. ﭘﺲ از اﻳﻦ ﺗﻌﻤﻴﻢ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اﺑﺰاری ﻛﺎرآﻣﺪ در ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮی وارد ﮔﺮدﻳﺪ. در ﺳﺎل 1965، ﻳﻚ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺟﺪﻳﺪ ﺑﺎ ﻧﺎم ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﺮﻳﻊ ﺟﺎی ﺧﻮد را در ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮی ﺑﺎز ﻛﺮد. [9,4,5]
ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ، ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﺑﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻲ از تعداد ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻲ ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘلط اﻓﺮاز ﻣﻲﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﻫﺮ ﻛﺪام از آنﻫﺎ دارای ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻔﻲ ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ. ﻃﺒﻖ ﺗﻌﺮﻳﻒ، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ در زﻣﺎن (x(t ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﺪ:
Xf= -∞+∞xte-j2πft dt (2-3)
ﻛﻪ در آن t زﻣﺎن و f ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﺳﺖ. راﺑﻄﻪ (2-3) ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل (t)x را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ، ﻣﻲﺗﻮان ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎﻧﻲ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻜﺘﺎ ﺑﻪ ﻧﺤﻮ زﻳﺮ بدست آورد ﻛﻪ در اﺻﻄﻼح، ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد:
xt= -∞+∞Xfe+j2πft dt (2-4)
ﺑﺎ دﻗﺖ در راﺑﻄﻪ (2-3) ﻣﻲﺗﻮان دﻳﺪ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل (x(t در ﻳﻚ ﺟﻤﻠﻪ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﻌﻴﻦ f ﺿﺮب ﺷﺪه اﺳﺖ و ﺳﭙﺲدر ﺗﻤﺎمی زﻣﺎنﻫﺎ اﻧﺘﮕﺮال ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ ﻧﻤﻮد ﻛﻪ ﺟﻤﻠﻪ ﻧﻤﺎﻳﻲ را ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻧﻮﺷﺖ:
ej2πft = cosj2πft+ j sinj2πft (2-5)
ﻋﺒﺎرت ﺑﺎﻻ ﺷﺎﻣﻞ ﻳﻚ ﺟﻤﻠﻪ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f و ﻳﻚ ﺟﻤﻠﻪ ﻣﻮﻫﻮﻣﻲ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ آﻧﭽﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺻﻮرت ﻣﻲ ﭘﺬﻳﺮد در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﺿﺮب ﻧﻤﻮدن ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎﻧﻲ در ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘﻠﻂ اﺳﺖ ﻛﻪ در واﻗﻊ ﺗﺮﻛﻴﺒﻲ از دو ﺗﺎﺑﻊ ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. در ﮔﺎم ﺑﻌﺪ، از اﻳﻦ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﻧﺘﮕﺮال ﮔﻴﺮی زﻣﺎﻧﻲ ﻣﻲ ﺷﻮد. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن ﺑﻬﺘﺮ، ﺗﻤﺎم ﻧﻘﺎط اﻳﻦ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺑﺎ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﺟﻤﻊ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ. در ﻧﻬﺎﻳﺖ اﮔﺮ ﺣﺎﺻﻞ اﻳﻦ اﻧﺘﮕﺮال ﮔﻴﺮی ،ﻛﻪ ﭼﻴﺰی ﺟﺰ ﻧﻮﻋﻲ ﺟﻤﻊ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻲ ﻧﻴﺴﺖ، ﻋﺪدی ﺑﺰرگ ﺑﺎﺷﺪ، آﻧﮕﺎه ﻣﻲﮔﻮﻳﻴﻢ ﺳﻴﮕﻨﺎل (x(t ﻳﻚ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f دارد. اﮔﺮ ﺣﺎﺻﻞ ﻣﻘﺪاری ﻛﻮﭼﻚ ﺑﺎﺷﺪ، میﮔﻮﺋﻴﻢ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ f در اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻏﺎﻟﺐ ﻧﻴﺴﺖ. ﺻﻔﺮ ﺑﻮدن ﺣﺎﺻﻞ اﻧﺘﮕﺮال ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻣﻌﻨﺎی ﻋﺪم وﺟﻮد ﭼﻨﻴﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ در ﺳﻴﮕﻨﺎل اﺳﺖ. ﺑﺮای آن ﻛﻪ ﺑﺮرﺳﻲ دﻗﻴﻖﺗﺮی ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻋﻤﻠﻜﺮد اﻳﻦ اﻧﺘﮕﺮالﮔﻴﺮی داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ، ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل دارای ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻏﺎﻟﺐ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺸﺨﺺ f ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﺎ ﺿﺮب اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل در ﺟﻤﻠﻪ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ ﻫﻤﺎن ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f ، ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻏﺎﻟﺐ و ﺟﻤﻠﻪ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺮ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ اﻧﻄﺒﺎق ﻳﺎﻓﺘﻪ و ﻟﺬا ﻣﻘﺪار ﻋﺪدی ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب ﻧﺴﺒﺘﺎً ﺑﺰرگ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﻛﻪ ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f ﻳﻚ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ دارد. ﺷﺎﻳﺎن ذﻛﺮ اﺳﺖ، اﻧﺘﮕﺮال ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﺮ روی ﻣﺘﻐﻴﺮ زﻣﺎن ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد ﺣﺎل آنﻛﻪ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﺳﺖ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ، راﺑﻄﻪ (2-3) ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ازای ﻛﻠﻴﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ f ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮔﺮدد. دﻗﺖ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ ﻛﻪ ﺣﺪود اﻧﺘﮕﺮال راﺑﻄﻪ (2-3) از ∞− ﺗﺎ ∞+ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ از اﻫﻤﻴﺖ وﻳﮋه ای ﺑﺮﺧﻮردار اﺳﺖ. ﭼﺮا ﻛﻪ ﺑﺎ اﻳﻦ ﺗﻌﺒﻴﺮ، ﻫﻴﭻ ﺗﻔﺎوﺗﻲ ﻧﺪارد ﻛﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f در ﻛﺠﺎی زﻣﺎن ﺣﻀﻮر داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن دﻳﮕﺮ، ﻳﻚ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻏﺎﻟﺐ، ﺻﺮف ﻧﻈﺮ از اﻳﻦ ﻛﻪ در ﭼﻪ زﻣﺎنﻫﺎﻳﻲ در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻇﺎﻫﺮ ﺷﻮد، ﺣﺎﺻﻞ اﻧﺘﮕﺮال را ﺑﻪ ﻳﻚ ﻣﻴﺰان ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﻴﺮ ﻗﺮار ﻣﻲدﻫﺪ. اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ، ﻧﺎﻛﺎرآﻣﺪی ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ را در آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺘﻐﻴﺮ دارﻧﺪ ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. اﻳﻦﮔﻮﻧﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎ در اﺻﻄﻼح ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎ ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ.
از ﺑﺤﺚ ﺑﺎﻻ ﻣﻲﺗﻮان ﭼﻨﻴﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪﮔﻴﺮی ﻧﻤﻮد ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻴﺎنﻛﻨﻨﺪه اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮردﻧﻈﺮ وﺟﻮد دارد ﻳﺎ ﺧﻴﺮ، اﻣﺎ ﻫﻴﭻ ﻧﻮع اﻃﻼﻋﺎﺗﻲ در ﻣﻮرد ﺑﺎزه زﻣﺎﻧﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﭘﺪﻳﺪاری آن ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ در اﺧﺘﻴﺎر ﻧﻤﻲﮔﺬارد. ﻟﺬا ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﺴﺘﺎ ﺑﻮدن ﻳﺎ ﻧﺒﻮدن ﺳﻴﮕﻨﺎل، ﭘﻴﺶ از اﻧﺠﺎم آﻧﺎﻟﻴﺰ ﻓﻮرﻳﻪ اﻟﺰاﻣﻲ اﺳﺖ. اﻛﻨﻮن ﺑﻪ دﻧﺒﺎل اﻳﻦ ﻫﺴﺘﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻧﻮﻋﻲ، اﻃﻼﻋﺎت زﻣﺎﻧﻲ را در ﻛﻨﺎر ﻣﺸﺨﺼﺎت ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل وارد ﻛﻨﻴﻢ. اوﻟﻴﻦ ﺗﻼش در اﻳﻦ زﻣﻴﻨﻪ ﺑﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن ﻛﻮﺗﺎه ﺑﺮﻣﻲ ﮔﺮدد.
ﺑﺮای آﺷﻨﺎﻳﻲ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺑﺎ ﻛﺎرﻛﺮد ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ و ﺿﻌﻒ آن در ﻣﺸﺨﺺ ﺳﺎزی ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ زﻣﺎﻧﻲ ﻓﺮﻛﺎ-نسﻫﺎی ﻣﻮﺟﻮد در ﺳﻴﮕﻨﺎل، ﻣﺜﺎل زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل x1(t)ﻣﺨﻠﻮﻃﻲ از 4 ﺗﺎﺑﻊ ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎی 5، 20 ،10 و 50 ﻫﺮﺗﺰ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ در ﺗﻤﺎم زﻣﺎن ﻫﺎ ﺣﻀﻮر دارﻧﺪ. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل x2(t)ﻣﺨﻠﻮﻃﻲ از ﻫﻤﺎن 4 ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺎ اﻳﻦ ﺗﻔﺎوت ﻛﻪ ﻫﺮ ﻛﺪام از ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎ ﻓﻘﻂ در ﻳﻚ ﺑﺎزه زﻣﺎﻧﻲ ﺧﺎص ﺣﻀﻮر دارﻧﺪ. ﺷﻜﻞ (4-2) اﻳﻦ دو ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ آن ﻫﺎ ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ. آﻧﭽﻨﺎﻧﻜﻪ دﻳﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد در ﻫﺮ دو ﻃﻴﻒ، 4 ﻗﻠﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎی 20 ،10 ،5 و 50 ﻫﺮﺗﺰ وﺟﻮد دارد. اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺑﺼﺮی ﻣﻲﺗﻮان دﻳﺪ ﻛﻪ ﻃﻴﻒ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﻟﻒ، ﻓﻘﻂ دارای 4 ﻗﻠﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﭘﻴﻚ ، ﺣﻮل ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺧﻮد ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. در ﺣﺎﻟﻲ ﻛﻪ ﻃﻴﻒ ﺳﻴﮕﻨﺎل ب، ﻋﻼوه ﺑﺮ 4 ﻗﻠﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ، دارای ﻧﻮﺳﺎﻧﺎت و ﻗﻠﻪ ﻫﺎی ﻛﻮﭼﻜﺘﺮ دﻳﮕﺮی در ﺳﺎﻳﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎ ﻧﻴﺰ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ.

شکل 2 - SEQ شکل_2_-_ \* ARABIC 4 دو نمونه سیگنال شامل مخلوطی از فرکانس های 5 ، 10 ، 20 ، 50 هرتز و تبدیل فوریه آنها [4]
(اﻟﻒ) ﻣﺨﻠﻮط ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ ﺷﺎﻣﻞ ﺗﻤﺎم ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎ در ﺗﻤﺎم زﻣﺎن ﻫﺎ، (ب) ﻣﺨﻠﻮط ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﻪ ﻧﺤﻮی ﻛﻪ ﻫﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻓﻘﻂ در ﻳﻚ ﺑﺎزه زﻣﺎﻧﻲ ﺑﻪ ﺧﺼﻮص ﺣﻀﻮر دارد، (پ) ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﻟﻒ، (ت) ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ب. 3-3-2 ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎهدر ﺑﺨﺶ ﭘﻴﺶ دﻳﺪﻳﻢ ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ در آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎی ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎ ﺿﻌﻒ دارد. ﺳﺎدهﺗﺮﻳﻦ اﻳﺪه ای ﻛﻪ ﺑﻪ ذﻫﻦ ﻣﻲرﺳﺪ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﺨﺶ ﻛﻮﺗﺎﻫﻲ از ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎ را اﻳﺴﺘﺎ ﻓﺮض ﻧﻤﻮد. اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ در ﺷﻜﻞ (2-4 ب) ﻧﻴﺰ ﺑﻪ وﺿﻮح دﻳﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد، ﭼﺮا ﻛﻪ ﺑﻪ وﺿﻮح اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎ در ﻫﺮ ﺑﺎزه 0.5 ﺛﺎﻧﻴﻪای اﻳﺴﺘﺎ اﺳﺖ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﺎ ﭘﻨﺠﺮه ﻛﺮدن ﺳﻴﮕﻨﺎل، ﺑﺨﺸﻲ از ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻛﻪ ﻗﺮار اﺳﺖ اﻳﺴﺘﺎ ﻓﺮض ﺷﻮد را اﺳﺘﺨﺮاج ﻧﻤﻮد. اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ داﺷﺖ ﻛﻪ اﻧﺪازه ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻧﺤﻮی اﻧﺘﺨﺎب ﺷﻮد ﻛﻪ ﻓﺮض اﻳﺴﺘﺎ ﺑﻮدن ﺑﺮای ﺗﻤﺎم ﺑﺨﺶﻫﺎی ﺟﺪا ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ آن، ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﻜﺎت ﺑﺎﻻ ﻣﻲ ﺗﻮان دﻳﺪ ﻛﻪ ﺑﻴﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ و ﻧﺴﺨﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه آن ﺗﻔﺎوت ﭼﻨﺪاﻧﻲ وﺟﻮد ﻧﺪارد. ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻔﺎوت اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ ﺑﺨﺶﻫﺎی ﺑﻪ ﺣﺪ ﻛﺎﻓﻲ کوچک ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﻲ ﺷﻮد ﺑﻪ ﻧﺤﻮی ﻛﻪ ﺑﺘﻮان اﻳﻦ ﻗﺴﻤﺖﻫﺎ را اﻳﺴﺘﺎ ﻓﺮض ﻧﻤﻮد. ﺑﺪﻳﻦ ﻣﻨﻈﻮر از ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه w اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ ﻃﻮل آن ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ﻃﻮل ﻣﻮرد ﻧﻴﺎز ﺑﺮای آن ﻛﻪ ﻓﺮض اﻳﺴﺘﺎ ﺑﻮدن ﻗﻄﻌﺎت ﺟﺪاﺷﺪه ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻌﺘﺒﺮ ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه ﺳﻴﮕﻨﺎل (x(t ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﭘﻨﺠﺮه زﻣﺎﻧﻲ (w(t ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲ ﺷﻮد:
STFTxwτ,f-∞+∞xt w*t-τe-j2πft dt (2-6)
ﻛﻪ در آن f ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ و τ ﻣﺘﻐﻴﺮ زﻣﺎﻧﻲ اﺳﺖ. در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه، ﻫﻤﺎن ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻨﺠﺮه ﺷﺪه اﺳﺖ. در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﺑﺎ ﺷﺮوع از اﺑﺘﺪای ﺳﻴﮕﻨﺎل، ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺿﺮب ﺷﺪه و ﺳﭙﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻨﺠﺮه ﺷﺪه ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲ ﮔﺮدد. در ﮔﺎم ﺑﻌﺪ، ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻣﻴﺰان τ ﺷﻴﻔﺖ ﻣﻲﻳﺎﺑﺪ و روﻧﺪ ﻗﺒﻞ ﻣﺠﺪداً ﺗﻜﺮار ﻣﻲﺷﻮد. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺮای ﻫﺮ ﻣﻘﺪار τ و f ، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﮔﺮدد. ﻧﺤﻮه ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه و ﻧﻘﺶ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه در ﺷﻜﻞ (2-5) ﺑﻪ ﺻﻮرت ﮔﺮاﻓﻴﻜﻲ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺑﺎ دﻗﺖ در راﺑﻄﻪ (2-6) درﻣﻲﻳﺎﺑﻴﻢ ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه ﻧﻮﻋﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﺳﺖ ﭼﺮا ﻛﻪ ﺧﺮوﺟﻲ آن دارای دو ﺑﻌﺪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f و ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ زﻣﺎﻧﻲ τ اﺳﺖ. ﻟﺬا ﺑﺎ اﺣﺘﺴﺎب داﻣﻨﻪ ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ، ﻣﻲ ﺗﻮان ﺷﻜﻞ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﻧﻤﻮدار ﺳﻪ ﺑﻌﺪی اراﺋﻪ ﻧﻤﻮد.

شکل 2 - SEQ شکل_2_-_ \* ARABIC 5 نمایش گرافیکی نحوه پنجره کردن سیگنال غیر ایستا به منظور محاسبه تبدیل فوریه زمان کوتاه[4]
ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ دارﻳﻢ ﻛﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ، در ﺣﻮزه ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﻴﭻ ﮔﻮﻧﻪ ﻣﺸﻜﻞ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻧﺪاﺷﺘﻴﻢ، ﭼﺮا ﻛﻪ دﻗﻴﻘﺎً ﻣﻲداﻧﺴﺘﻴﻢ ﭼﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎﻳﻲ در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮﺟﻮد ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ (اﻣﺎ از ﻣﺤﻞ زﻣﺎﻧﻲ آن ﻫﺎ اﻃﻼﻋﻲ در دﺳﺖ ﻧﺒﻮد). ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ، در ﺣﻮزه زﻣﺎن، ﻣﻘﺪار ﺳﻴﮕﻨﺎل را در ﻫﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ زﻣﺎﻧﻲ ﻣﻲداﻧﺴﺘﻴﻢ و ﻟﺬا ﻫﻴﭻ ﻣﺸﻜﻠﻲ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﻧﺪاﺷﺘﻴﻢ. ﺑﺎﻟﻌﻜﺲ، رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ در ﺣﻮزه ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ و رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ در ﺣﻮزه زﻣﺎن در تبدیل ﻓﻮرﻳﻪ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ، ﭼﺮا ﻛﻪ ﺣﻮزه ﻣﻮردﻧﻈﺮ، ﻫﻴﭻ ﮔﻮﻧﻪ اﻃﻼﻋﺎﺗﻲ از آنﻫﺎ در اﺧﺘﻴﺎر ﻣﺎ ﻗﺮار ﻧﻤﻲ دﻫﺪ. از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ داﺷﺖ آﻧﭽﻪ ﻛﻪ ﺳﺒﺐ ﻣﻲ ﺷﻮد در ﺣﻮزه ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ را دارا ﺑﺎﺷﻴﻢ، در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻫﻤﺎن ﻫﺴﺘﻪ ﻧﻤﺎﻳﻲ(exp(− j2πft اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺗﻤﺎم زﻣﺎن ﻫﺎ، از ∞− ﺗﺎ ∞+ ﺣﻀﻮر دارد. ﺣﺎل آﻧﻜﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه، ﻃﻮل ﭘﻨﺠﺮه ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻣﺘﻨﺎﻫﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺳﺒﺐ ﻛﺎﻫﺶ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻣﻲ ﮔﺮدد. ﺑﺪﻳﻦﺳﺎن در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه، دﻗﻴﻘﺎً ﻧﻤﻲداﻧﻴﻢ ﭼﻪ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﺑﻠﻜﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﻳﻚ ﻣﺤﺪوده (ﻳﻚ ﺑﺎﻧﺪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ) ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ. ﻟﺬا ﺑﻪ دﻟﻴﻞ ﻣﺤﺪود ﺑﻮدن ﻃﻮل ﭘﻨﺠﺮه، رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ ﻧﺨﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. دﻗﺖ دارﻳﻢ ﻛﻪ ﻫﺮﭼﻪ ﻃﻮل ﭘﻨﺠﺮه ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﺑﺰرﮔﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ، ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﭘﻴﺶ ﻣﻲ روﻳﻢ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ﭘﻨﺠﺮه زﻣﺎﻧﻲ ﺑﺰرگ، رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻲﻳﺎﺑﺪ. ﺣﺎل آنﻛﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﻳﻚ ﭘﻨﺠﺮه ﺑﺰرگ ﻛﻢ اﺳﺖ. در ﻧﻘﻄﻪ ﻣﻘﺎﺑﻞ، ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ﭘﻨﺠﺮه زﻣﺎﻧﻲ ﻛﻮﭼﻚ، رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﺧﻮﺑﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ اﻣﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻧﺎﻣﻨﺎﺳﺐ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. از آﻧﺠﺎ ﻛﻪ ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ در ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ، ﻟﺬا ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ، ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ﻧﻮﻋﻲ ﻣﺼﺎﻟﺤﻪ ﺑﻴﻦ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ و ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻗﺎﺋﻞ ﺷﻮﻳﻢ، ﭼﺮا ﻛﻪ ﻧﻤﻲﺗﻮان ﻫﻤﺰﻣﺎن ﻫﺮ دو را ﺧﻮب ﻛﺮد.
ﺑﺎ اﻓﺰودن ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻓﺮﻣﻮل ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ، ﺑﻪ ﻧﺴﺨﻪ ﺟﺪﻳﺪی رﺳﻴﺪﻳﻢ ﻛﻪ اﻃﻼﻋﺎت ﺗﻮأم زﻣﺎﻧﻲ و ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ را درﺑﺮدارد. ﺗﻨﻬﺎ ﻣﺴﺄﻟﻪای ﻛﻪ ﺑﺎﻗﻲ ﻣﻲﻣﺎﻧﺪ، اﻧﺘﺨﺎب اﻧﺪازه ﭘﻨﺠﺮه اﺳﺖ. ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ داﺷﺖ ﻛﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﭘﻨﺠﺮه ﺑﺎ ﻃﻮل ﺑﺰرﮔﺘﺮ ﻫﺮﭼﻨﺪ ﺑﻪ اﻓﺰاﻳﺶ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻛﻤﻚ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ، اﻣﺎ ﻓﺮض اﻳﺴﺘﺎ ﺑﻮدن ﻗﻄﻌﻪﻫﺎی ﭘﻨﺠﺮه ﺷﺪه ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﺗﺤﺖ اﻟﺸﻌﺎع ﻗﺮار ﻣﻲدﻫﺪ. ﭘﺎﺳﺦ اﻳﻦ ﻣﺴﺄﻟﻪ ﺑﻪ ﻛﺎرﺑﺮد ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﺑﺴﺘﮕﻲ دارد و ﻏﺎﻟﺒﺎً ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﻲﺗﻮان ﻃﻮﻟﻲ از ﭘﻨﺠﺮه را اﻧﺘﺨﺎب ﻧﻤﻮد ﻛﻪ در ﻋﻴﻦ ﺣﻔﻆ اﻋﺘﺒﺎر ﻓﺮض اﻳﺴﺘﺎﻳﻲ، رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ و ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻗﺎﺑﻞ ﻗﺒﻮﻟﻲ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. اﻣﺎ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ دﺷﻮاری اﻳﻦ روﻳﻜﺮد و واﺑﺴﺘﮕﻲ آن ﺑﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل، اﻳﺪه اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﻮﻋﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺑﻪ ذﻫﻦ رﺳﻴﺪ ﻛﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﭘﻴﺪاﻳﺶ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺮدﻳﺪ. در اداﻣﻪ ﺑﺎ اﻳﺪه آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪرزوﻟﻮﺷﻨﻪ و ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک آﺷﻨﺎ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺷﺪ.
4-3-2 آﻧﺎﻟﻴﺰ چند رزولوشنه ﻣﺸﻜﻞ رزوﻟﻮﺷﻦ ﺛﺎﺑﺖ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه رﻳﺸﻪ در اﺻﻞ ﻋﺪم ﻗﻄﻌﻴﺖ ﻫﺎﻳﺰﻧﺒﺮگ دارد. ﻃﺒﻖ اﻳﻦ اﺻﻞ ﻧﻤﻲﺗﻮان ﺗﻮﺻﻴﻒ زﻣﺎن- ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﺑﻪ ﻃﻮر دﻗﻴﻖ داﺷﺖ، ﻳﻌﻨﻲ ﻧﻤﻲ ﺗﻮان ﻓﻬﻤﻴﺪ ﻛﻪ در ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ ﻃﻮر دﻗﻴﻖ ﭼﻪ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻫﺎی ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ در ﭼﻪ زﻣﺎن ﻫﺎﻳﻲ وﺟﻮد دارد، ﺑﻠﻜﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﻣﻲﺗﻮان ﻓﻬﻤﻴﺪ ﻛﻪ در ﻛﺪام ﺑﺎزه ﻫﺎی زﻣﺎﻧﻲ، ﭼﻪ ﺑﺎﻧﺪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ. اﻳﻦ اﺻﻞ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﻪ ﻣﻔﻬﻮم رزوﻟﻮﺷﻦ ﺑﺮﻣﻲﮔﺮدد.
اﮔﺮﭼﻪ ﻣﺸﻜﻼت رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎن و ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻳﻚ ﭘﺪﻳﺪه ﻓﻴﺰﻳﻜﻲ (اﺻﻞ ﻋﺪم ﻗﻄﻌﻴﺖ ﻫﺎﻳﺰﻧﺒﺮگ) ﺑﻮده و رﺑﻄﻲ ﺑﻪ ﻧﻮع ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻧﺪارد، ﻣﻲ ﺗﻮان از ﻳﻚ روﻳﻜﺮد ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﺑﺮای ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻫﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮد ﻛﻪ اﺻﻄﻼﺣﺎً آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪرزوﻟﻮﺷﻨﻪ ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮد. در اداﻣﻪ ﺑﺎ اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم ﺑﻴﺸﺘﺮ آﺷﻨﺎ ﺷﺪه و ﻧﻬﺎﻳﺘﺎً از آن ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺳﻨﮓ ﺑﻨﺎی ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻬﺮه ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺑﺮد.
ﻣﻨﻈﻮر از آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻪ، ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﻴﮕﻨﺎل در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻫﺎی ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ. ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ، ﺑﺮ ﺧﻼف ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه، در آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻪ، ﺑﺎ ﻫﺮ ﻳﻚ از ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎی ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻳﻜﺴﺎن رﻓﺘﺎر ﻧﻤﻲﺷﻮد. در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻫﺪف آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻪ، اراﺋﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﻣﻨﺎﺳﺐ و رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻧﺎدﻗﻴﻖ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎی ﺑﺎﻻ و در ﻣﻘﺎﺑﻞ، رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺧﻮب و رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﺿﻌﻴﻒ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎی ﭘﺎﺋﻴﻦ اﺳﺖ. اﻳﻦ روﻳﻜﺮد ﺑﻪ وﻳﮋه در ﻛﺎرﺑﺮدﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ دارای ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻫﺎی ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﺎﻻ در ﻣﺪت زﻣﺎن ﻛﻮﺗﺎه ﺑﻮده و ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎی ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﭘﺎﺋﻴﻦ آنﻫﺎ ﺑﺮای ﺑﺎزهﻫﺎی ﺑﻠﻨﺪ زﻣﺎﻧﻲ ﺑﺎﻗﻲ ﻣﻲ ﻣﺎﻧﻨﺪ، ﻣﻔﻴﺪ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. ﺑﻪ وﻳﮋه اﻳﻦﻛﻪ اﻛﺜﺮ ﻗﺮﻳﺐ ﺑﻪ اﺗﻔﺎق ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ در ﻋﻤﻞ ﺑﺎ آن ﻫﺎ ﻣﻮاﺟﻪ ﻫﺴﺘﻴﻢ از اﻳﻦ ﻧﻮع ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل، ﺳﻴﮕﻨﺎل اﻟﻜﺘﺮوﻛﺎردﻳﻮﮔﺮافی ،ﻧﻮار ﻗﻠﺐ، را درﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل دارای ﻳﻚ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻧﺴﺒﺘﺎً ﭘﺎﺋﻴﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺳﺮﺗﺎﺳﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل وﺟﻮد دارد ،ﺧﻂ ﭘﺎﻳﻪ و ﻗﻄﻌﺎت ﺑﻴﻦ ﻣﻮجﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻧﻮار ﻗﻠﺐ. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل دارای ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎی ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﺎﻻﻳﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺮای ﻳﻚ دوره زﻣﺎﻧﻲ ﻛﻮﺗﺎه و در اواﺳﻂ ﻫﺮ ﺳﻴﻜﻞ از ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻇﺎﻫﺮ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ. اﻳﻦ ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎ ﻫﻤﺎن ﻣﻮجﻫﺎیPQRST ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ. در اداﻣﻪ، ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اﺑﺰاری ﺑﺮای آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻪ ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ. اما قبل از آن با مفهوم موجک به عنوان پایه ای برای تبدیل موجک آشنا خواهیم شد .
5-3-2 آشنایی با موجک
واژه موجک ﺑﻪ ﻣﻌﻨﺎی ﻣﻮج ﻛﻮﭼﻚ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺑﺮﺧﻲ ﺗﺮﺟﻤﻪ ﻫﺎی فارسی ، ﺗﻌﺒﻴﺮ ویولت ﺑﺮای آن آورده ﺷﺪه اﺳﺖ. دﻟﻴﻞ اﺳﺘﻔﺎده از واژه ﻛﻮﭼﻚ، ﻣﺤﺪود ﺑﻮدن و ﻛﻮﺗﺎه ﺑﻮدن ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. ﻋﻠﺖ اﺳﺘﻔﺎده از واژه ﻣﻮج ﻧﻴﺰ ﺑﻪ دﻟﻴﻞ ﻣﺎﻫﻴﺖ ﻧﻮﺳﺎﻧﻲ اﻳﻦ ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ.[5]
موجک یک تابع نوسانی در یک زمان محدود می باشد که میانگین مقادیر آن در طول زمان صفر می باشد . به عبارت دقیقتر یک تابع وقتی موجک نامیده می شود که دارای شرایط زیر باشد .
یک تابع با ماهیت نوسانی
در یک بازه زمانی محدود
میانگین مقادیر آن در طول زمان صفر باشد .
توابع موجک بسیار زیادی موجود می باشند که ساده ترین آنها موج هار می باشد .
اگر موجک را با سینوس که پایه تبدیل فوریه می باشد مقایسه کنیم می بینیم که سینوس یک دوره محدود ندارد بلکه از منفی بی نهایت تا مثبت بی نهایت ادامه می یاید . و در حالیکه رفتاری قابل حدث و لطیف دارد . اما در مقابل موجک دارای رفتاری نامنظم و شکلی نا متقارن می باشد .

شکل 2 - SEQ شکل_2_-_ \* ARABIC 6 موج سینوسی در مقایسه با موجک [10]
همانطور که در بخش قبل دیدیم آنالیز فوریه ، شامل شکستن یک سیگنال به مولفه های سینوسی با فرکانس های مختلف می باشد . به طور مشابه ، آنالیز موجک شامل شکستن سیگنال به نسخه های شیفت یافته شده و مقیاس شده از موجک مادر می باشد .
فقط با یک نگاه کلی به تصویر (6-2) موج سینوسی و موجک می توانید درک کنید که سیگنال های با تغییرا ت سریع می توانند به صورت بهتری توسط موجک نامنظم در مقابل موج سینوسی با رفتاری لطیف تجزیه و تحلیل شوند . [10]
6-3-2 تبدیل موجک پیوسته تبدیل موجک پیوسته به صورت مجموع حاصظرب سیگنال در تابع موجک در شیفت های زمانی و با مقیاس های متفاوت تعریف شده است .
CSclale , Position =-∞+∞ftΨ(Scale ,Position , t )dt (2-7)
حاصل تبدیل موجک پیوسته ضرایبی می باشند که تابعی از مقیاس و مکان می باشند. [10]
ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان روﺷﻲ ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﺑﺮ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه اراﺋﻪ ﮔﺮدﻳﺪ و ﻫﺪف آن، ﻓﺎﺋﻖ آﻣﺪن ﺑﺮ ﻣﺸﻜﻼت ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه اﺳﺖ. در آﻧﺎﻟﻴﺰ موجک، ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه، ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮردﻧﻈﺮ در ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ (موجک) ﺿﺮب ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻧﻘﺶ ﻫﻤﺎن ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه را دارد. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﻗﺒﻞ، ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ ﺑﺮ روی ﻗﻄﻌﻪﻫﺎی زﻣﺎﻧﻲ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﻧﺠﺎم ﻣﻲ ﺷﻮد. اﻣﺎ ﻣﺎﻫﻴﺘﺎً دو اﺧﺘﻼف ﻋﻤﺪه ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه دارد
1- در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، از ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻨﺠﺮه ﺷﺪه، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻧﻤﻲ ﺷﻮد و ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﭘﻴﻚﻫﺎی ﻣﻨﻔﺮد ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻳﻚ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ، ﻳﺎ ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎی ﻣﻨﻔﻲ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻧﻤﻲ ﺷﻮد.
2- در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، ﻋﺮض ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻣﻮازات ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎی ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺣﺘﻢ این خاصیت ﻣﻬﻤﺘﺮﻳﻦ وﻳﮋﮔﻲ از ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک اﺳﺖ.
ﺑﺮ اﻳﻦ اﺳﺎس، ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲ ﮔﺮدد:
CWTxΨτ,s= 1s -∞+∞xtψ*(t-τs)dt (2-8)
ﻛﻪ در آن τ وs ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی اﻧﺘﻘﺎل و ﻣﻘﻴﺎس ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ. ﻣﻔﻬﻮم اﻧﺘﻘﺎل دﻗﻴﻘﺎً ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﻣﻔﻬﻮم اﻧﺘﻘﺎل زﻣﺎﻧﻲ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻴﺰان ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ ﭘﻨﺠﺮه را ﻣﻌﻠﻮم ﻣﻲ ﻛﻨﺪ و ﺑﻪ وﺿﻮح، اﻃﻼﻋﺎت زﻣﺎﻧﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ را درﺑﺮدارد. اﻣﺎ ﺑﺮ ﺧﻼف ﺗﺒﺪﻳﻞ فوریه زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه، در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ را ﻧﺪارﻳﻢ. در ﻋﻮض، ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﻘﻴﺎس را دارﻳﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻌﻜﻮس ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ارﺗﺒﺎط دارد. ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ s =1/ f. ﺑﺎ ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻘﻴﺎس ﺟﻠﻮﺗﺮ آﺷﻨﺎ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺷﺪ. در راﺑﻄﻪ (8-2) ψ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه اﺳﺖ ﻛﻪ اﺻﻄﻼﺣﺎً موجک ﻣﺎدر ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮد . واژه ﻣﺎدر ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻨﻈﻮر ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮده ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺗﻤﺎﻣﻲ ﻧﺴﺨﻪﻫﺎی اﻧﺘﻘﺎل ﻳﺎﻓﺘﻪ و ﻣﻘﻴﺎس ﺷﺪه، ﻫﻤﮕﻲ از روی ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ اوﻟﻴﻪ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲآﻳﻨﺪ ﻛﻪ اﺻﻄﻼﺣﺎً موجک ﻣﺎدر ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮد. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن ﻋﻠﻤﻲ، موجک ﻣﺎدر، ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ اﻟﮕﻮ (proptotype) ﺟﻬﺖ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺳﺎﻳﺮ ﭘﻨﺠﺮه ﻫﺎ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ .
ما در حال حاضر با این واقعیت که آنالیز موجک یک دید زمان – مقیاس از سیگنال به ما می دهد آشنا هستیم . در بخش های بعدی می خواهیم با مفاهیم مقیاس و انتقال موجک آشنا شویم .
7-3-2 مقیاسمقیاس کردن موجک به طور ساده به معنی بسط دادن ،فشرده کردن ، آن می باشد موجک مادر می باشد . شکل (7-2) مفهوم مقیاس کردن را به خوبی نمایش می دهد.

شکل 2 - SEQ شکل_2_-_ \* ARABIC 7 مقیاس کردن موجک ، a بیانگر مقیاس می باشد .[10]
آﻧﭽﻨﺎﻧﻜﻪ ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ ﻋﻨﻮان ﺷﺪ، در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻪ ﺟﺎی ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ، ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﻘﻴﺎس وﺟﻮد دارد. ﻫﻤﺎﻧﮕﻮﻧﻪ ﻛﻪ از ﻣﻌﻨﻲ اﻳﻦ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﺑﺮﻣﻲ آﻳﺪ، ﻧﻮﻋﻲ ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻘﻴﺎس درون آن ﻧﻬﻔﺘﻪ اﺳﺖ. درﺳﺖ ﺑﻪ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻘﻴﺎس در ﻧﻘﺸﻪ، در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻧﻴﺰ ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎی ﺑﺰرگ، ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻳﻚ دﻳﺪ ﻛﻠﻲ و ﻓﺎرغ از ﺟﺰﺋﻴﺎت ﺑﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﺳﺖ (ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎی ﭘﺎﺋﻴﻦ) و ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎی ﻛﻮﭼﻚ، ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻧﮕﺎه ﺑﻪ ﺟﺰﺋﻴﺎت ﺳﻴﮕﻨﺎل اﺳﺖ و ﻟﺬا در ﺗﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎی ﺑﺎﻻ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.

 برای دانلود فایل کامل به سایت منبع مراجعه کنید  : elmname.com

یا برای دیدن قسمت های دیگر این موضوع در سایت ما کلمه کلیدی را وارد کنید :

 

ﻣﻘﻴﺎس ﻛﺮدن، ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ اﭘﺮاﺗﻮر رﻳﺎﺿﻲ، ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﻣﻨﻘﺒﺾ ﻳﺎ ﻣﻨﺒﺴﻂ ﻣﻲﻛﻨﺪ. ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺎن، در مقیاس های ﺑﺎﻻ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻨﺒﺴﻂ ﻣﻲ ﺷﻮد، ﺟﺰﺋﻴﺎت را ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ و در ﻣﻘﻴﺎس ﻫﺎی ﭘﺎﺋﻴﻦ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻨﻘﺒﺾ ﻣﻲ ﺷﻮد، ﻛﻠﻴﺎت را ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ. ﺗﻮﺟﻪ دارﻳﻢ ﻛﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻣﻘﻴﺎس در ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، در ﻣﺨﺮج ﻇﺎﻫﺮ ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﻪ ازای ﻣﻘﺎدﻳﺮs >1 ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻨﺒﺴﻂ ﺷﺪه و ﺑﻪ ازای s <1 ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻓﺸﺮده ﻣﻲﮔﺮدد.[9]
8-3-2 انتقال در بخش قبل مفهوم مقیاس کردن را با نمایش یک شکل به خوبی نشان دادیم . در این بخش نیز می خواهیم مفهوم انتقال را با نمایش شکل بیان کنیم . شکل 2-8 مفهوم انتقال را به خوبی نمایش می دهد . [10]

شکل 2 - SEQ شکل_2_-_ \* ARABIC 8 انتقال تابع موجک[10]9-3-2 پنج مرحله تا رسیدن به تبدیل موجک پیوسته
تبدیل موجک پیوسته به صورت مجموع حاصظرب سیگنال در تابع موجک در انتقال های زمانی و با مقیاس های متفاوت می باشد. این فرآیند ضرایبی تولید می کند که تابعی از مقیاس و مکان می باشند.
در واقع پنج مرحله برای رسیدن به تبدیل موجک پیوسته نیاز داریم :
یک موجک به عنوان موجک مادر انتخاب کرده و آن را با قسمت ابتدایی سیگنال همانند شکل (2-9) مقایسه کنید .
مقدار C را که بیانگر میزان شباهت موجک با قسمت انتخابی از سیگنال می باشد را حساب کنید . به این نکته توجه کنید که مقادیر بالاتر C بیانگر شباهت بیشتر می باشد . به طور دقیق تر اگر انرژی سیگنال و انرژی موجک برابر یک باشد C می تواند به عنوان ضریب همبستگی تفسیر شود .
توجه : نتیجه به نوع موجکی که به عنوان موجک مادر انتخاب می کنید بستگی دارد .

شکل 2 - SEQ شکل_2_-_ \* ARABIC 9 مراحل تبدیل موجک گسسته ، نمای شماره ی 1 [10]
موجک را به سمت راست انتقال می دهیم و مراحل 1 تا 2 را تا زمانی، که کل سیگنال را پوشش دهیم تکرار می کنیم .

شکل 2 - SEQ شکل_2_-_ \* ARABIC 10 مراحل تبدیل موجک گسسته ، نمای شماره 2 [10]موجک مادر را به مقیاس جدید برده و مراحل 1 تا 3 را تکرار می کنیم .

شکل 2 - SEQ شکل_2_-_ \* ARABIC 11 مراحل تبدیل موجک گسسته ، نمای شماره 3 [10]
مراحل 1 تا 4 را برای تمامی مقیاس ها تکرار کنید .
بعد از انجام این مراحل شما ضرایب تولید شده حاصل از تبدیل موجک یک سیگنال را دارید . [10]
ﺷﻜﻞ (2-12) ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎی اﻳﺴﺘﺎ و ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎی ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه در ﺷﻜﻞ (2-4 ) الف را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از موجک ﻣﺎدر db8 ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮔﺮدﻳﺪه اﻧﺪ.
ﺧﺎﺻﻴﺖ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک در ﺷﻜﻞ (2-12) ﺑﻪ وﺿﻮح ﻣﺸﺨﺺ اﺳﺖ، ﭼﺮا ﻛﻪ در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎی ﭘﺎﺋﻴﻦ ( ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎی ﺑﺎﻻ) رزوﻟﻮﺷﻦ ﻣﻘﻴﺎﺳﻲ ﺑﻬﺘﺮی دارﻳﻢ. ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ در ﻣﻘﻴﺎس ﻫﺎی ﭘﺎﺋﻴﻦ، ﻧﻤﻮدار ﺑﺎرﻳﻚﺗﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ دﻗﺖ ﺑﺴﻴﺎر ﺑﻬﺘﺮی ﻣﻲ ﺗﻮان ﻣﻘﺪار دﻗﻴﻖ ﻣﻘﻴﺎس ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ را ﺑﻴﺎن ﻧﻤﻮد ﻛﻪ ﺧﻮد ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺿﻌﻴﻒ اﺳﺖ. ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ، ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎی ﺑﺎﻻﺗﺮ دارای رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺧﻮب ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ ﭼﺮا ﻛﻪ در ﻃﻮل ﻣﺤﻮر ﻣﻘﻴﺎس، ﭘﻬﻦ ﺗﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ. [9]

شکل 2 - SEQ شکل_2_-_ \* ARABIC 12 نمایش سه بعدی تبدیل موجک پیوسته سیگنال های نشان داده شده در شکل 2-1 با استفاده از موجک مادر 8 db (الف) تبدیل موجک سیگنال ایستا ، (ب) تبدیل موجک سیگنال نا ایستا [4]
10-3-2 رزولوشن در صفحه زمان – فرکانس
در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ، ﻧﮕﺎﻫﻲ دﻗﻴﻖﺗﺮ ﺑﻪ ﺧﻮاص ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺧﻮاﻫﻴﻢ اﻧﺪاﺧﺖ. ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ دارﻳﻢ ﻛﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻋﺎﻣﻞ اﺻﻠﻲ روی آوردن از ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه ﺑﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻮد. ﺷﻜﻞ(2-13) ﺗﻮﺻﻴﻒﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ رزوﻟﻮﺷﻦ در ﺻﻔﺤﺎت زﻣﺎن، ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ و زﻣﺎن- ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ را ﺑﺮای ﺗﺒﺪﻳﻞﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. ﻫﺮ جعبه ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻣﻘﺪار در ﺻﻔﺤﻪ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. ﺗﻮﺟﻪ دارﻳﻢ ﻛﻪ در ﺻﻔﺤﺎت زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ، ﻫﺮ جعبه ﻳﻚ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻏﻴﺮﺻﻔﺮ دارد ﻛﻪ ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻨﺪه اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻘﺪار دﻗﻴﻖ ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ در ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻗﺎﺑﻞ داﻧﺴﺘﻦ ﻧﻴﺴﺖ. ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ، ﺗﻤﺎم ﻧﻘﺎﻃﻲ ﻛﻪ در ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن- ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ در ﻳﻚ جعبه ﻗﺮار ﻣﻲﮔﻴﺮﻧﺪ، ﺗﻮﺳﻂ ﻳﻚ ﻣﻘﺪار ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ (موجک ﻳﺎ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه) ﺗﻮﺻﻴﻒ ﻣﻲﮔﺮدﻧﺪ. ﺷﻜﻞ (2-13) ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ واﺳﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻮدن ﭘﻨﺠﺮه در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه، رزوﻟﻮﺷﻦ اﻳﺠﺎد ﺷﺪه در ﻫﻤﻪ ﺟﺎی ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن- ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ. ﺣﺎل آنﻛﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، ﻃﻮل و ﻋﺮض جعبه های ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﻲ ﻛﻪ در ﺣﻘﻴﻘﺖ اﻟﻤﺎن ﻫﺎی رزوﻟﻮﺷﻦ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ، ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ اﻣﺎ ﻫﻤﭽﻨﺎن ﻣﺴﺎﺣﺖ آنﻫﺎ ﺛﺎﺑﺖ ﻣﻲ ﻣﺎﻧﺪ. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن دﻳﮕﺮ، ﻫﺮ جعبه ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه ﻳﻚ ﺑﺨﺶ ﻳﻜﺴﺎن از ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﺳﺖ ﻛﻪ اﻟﺒﺘﻪ در ﺟﺎﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ، ﺑﻪ زﻣﺎن و ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺳﻬﻢ ﻣﺘﻔﺎوﺗﻲ اﺧﺘﺼﺎص ﻳﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ. دﻗﺖ دارﻳﻢ ﻛﻪ در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎی ﺑﺎﻻ ( ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎی ﭘﺎﺋﻴﻦ)، ارﺗﻔﺎع جعبه ها ﻛﻮﺗﺎهﺗﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ و ﻋﺮض جعبه ها ﺑﺰرگ ﺗﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻨﺪه رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﺿﻌﻴﻒ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. در ﻧﻘﻄﻪ ﻣﻘﺎﺑﻞ، در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎی ﭘﺎﺋﻴﻦ ( ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎی ﺑﺎﻻ)، ﻋﺮض جعبه ﻫﺎ ﻛﺎﻫﺶ ﻳﺎﻓﺘﻪ ﺗﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﺑﻬﺒﻮد ﻳﺎﺑﺪ و در ﻋﻮض ارﺗﻔﺎع آنﻫﺎ اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻲ ﻳﺎﺑﺪ ﺗﺎ در ﺟﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻧﻴﺎزی ﺑﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ ﺧﻮب ﻧﺪارﻳﻢ، رزوﻟﻮﺷﻦ ﺑﺪﺗﺮ ﺷﻮد. ﺷﺎﻳﺎن ذﻛﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺴﺎﺣﺖ جعبه ها ﺑﻪ ﻧﺎﻣﺴﺎوی ﻫﺎﻳﺰﻧﺒﺮگ ﻣﺮﺑﻮط ﻣﻲ ﺷﻮد و ﺑﺴﺘﮕﻲ ﺑﻪ ﻧﻮع موجک ﻣﺎدر ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ دارد. ﻣﻲﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﻓﺎرغ از اﻳﻦ ﻛﻪ موجک ﻣﺎدر ﺑﻪ ﻛﺎررﻓﺘﻪ ﭼﻪ ﺑﺎﺷﺪ، ﻛﺮان ﭘﺎﺋﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺖ جعبه ﻫﺎ ﺑﻪ ﻋﺪدπ / 4 ﻣﺤﺪود ﻣﻲﺷﻮد ﭼﺮا ﻛﻪ ﺑﺮ اﺳﺎس اﺻﻞ ﻋﺪم ﻗﻄﻌﻴﺖ ﻫﺎﻳﺰﻧﺒﺮگ، ﻧﻤﻲ ﺗﻮان ﻋﺮض جعبه ﻫﺎ را ﺗﺎ ﺟﺎی ﻣﻤﻜﻦ ﻛﻢ ﻛﺮد. [5]

شکل 2 - SEQ شکل_2_-_ \* ARABIC 13 نمایش رزولوشن در صفحات مختلف (الف ) صفحه زمان (ب) صفحه فرکانس (پ) صفحه زمان – فرکانس در تبدیل فوریه زمان – کوتاه (ت) صفحه زمان – فرکانس در تبدیل موجک [4]
4-2 رواﺑﻂ رﻳﺎﺿﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجکدر اﻳﻦ ﺑﺨﺶ، اﻳﺪه اﺻﻠﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک در ﻗﺎﻟﺐ رواﺑﻂ رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ای ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﺷﻮد. قبل از بیان روابط ریاضی مربوط به تبدیل موجک برخی مفاهیم ریاضیاتی که با آن ها در این بخش سر و کار داریم را مورد بررسی قرار می دهیم .
تعریف استقلال خطی
مجموعه بردار های {V1 … Vm} را مستقل خط می گوییم هر گاه c1V1+ …. CmVm = 0 آنگاه c1=c2=…=cm
تعریف پایه
مجموعه ای متناهی از بردارها همانند {v1,…,vm} را یک پایه فضای برداری V می نامند هر گاه این مجموعه مولد V و مستقل خطی باشند . ﻳﻚ ﭘﺎﻳﻪ از ﻓﻀﺎی ﺑﺮداری V ﻣﺠﻤﻮﻋﻪای از ﺑﺮدارﻫﺎی ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺧﻄﻲ اﺳﺖ ﺑﻪ ﻧﺤﻮی ﻛﻪ ﺑﺘﻮان ﻫﺮ ﺑﺮدار v در ﻓﻀﺎی V را ﺑﺮﺣﺴﺐ ﻳﻚ ﺗﺮﻛﻴﺐ ﺧﻄﻲ از اﻳﻦ ﺑﺮدارﻫﺎی ﭘﺎﻳﻪ ﻧﻮﺷﺖ. [6]
تعریف بعد در فضای برداری
در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﺑﺮای ﻫﺮ ﻓﻀﺎی ﺑﺮداری ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻴﺶ از ﻳﻚ ﭘﺎﻳﻪ ﻳﺎﻓﺖ، اﻣﺎ ﻫﻤﮕﻲ آنﻫﺎ دارای ﺗﻌﺪاد ﻳﻜﺴﺎﻧﻲ ﺑﺮدار ﭘﺎﻳﻪ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻮد ﻛﻪ اﻳﻦ ﺗﻌﺪاد را ﺑﻌﺪ آن ﻓﻀﺎی ﺑﺮداری ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ.[6]
تعریف بردارهای متعامد
فرض کنید V یک فضای حاصل ضرب داخلی باشد . دو بردار ناصفر u , v در V متعامد نامیده می شوند اگر <u,v> = 0 [6]
دومتعامد
دوﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺑﻪ دو ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻛﻪ ﻋﻤﻮد ﺑﺮ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ اﻣﺎ ﻫﺮﻛﺪام ﺑﻪ ﺗﻨﻬﺎﻳﻲ ﻳﻚ ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻧﻤﻲدﻫﻨﺪ ﺑﺮﻣﻲ ﮔﺮدد. [4]
با توجه به مفاهیم بالا ﺗﻮﺻﻴﻒ ﻫﺮ ﺑﺮدار دﻟﺨﻮاه در ﻓﻀﺎ ﭼﻨﻴﻦ ﻧﺸﺎن داده ﻣﻲ ﺷﻮد:
v= k=1Nakbk (2-9)
ﻛﻪ در آن، bk ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺮﻛﻴﺐ ﺧﻄﻲ ﺑﻮده و N ﺑﻌﺪ ﻓﻀﺎﺳﺖ. اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم ﻛﻪ در ﻓﻀﺎی αk ﺑﺮدارﻫﺎی ﭘﺎﻳﻪ ﻓﻀﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ، ﺑﺮداری ﺑﻴﺎن ﺷﺪ را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﻲ ﺑﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﺗﻌﻤﻴﻢ داد ﺑﺎ اﻳﻦ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻛﻪ ﺑﺮدارﻫﺎی ﭘﺎﻳﻪ ﺟﺎی ﺧﻮد را ﺑﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ) ﻣﻲدﻫﻨﺪ. ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺎن، ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ دﻟﺨﻮاه(f(t را ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻮﺻﻴﻒ ﻧﻤﻮد:
f(t)= k=1Nakϕkt (2-10)
ﻫﻤﺎﻧﮕﻮﻧﻪ ﻛﻪ ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ دﻳﺪﻳﻢ، ﺗﻮاﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘﻠﻂ، ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﺑﺮای ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﺑﻪ ﻋﻼوه، اﻳﻦ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺑﻮده و ﻟﺬا اﻳﻦ ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ را ﺑﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﻲدﻫﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﺘﻮان ﺳﻴﮕﻨﺎل اوﻟﻴﻪ را از روی ﺗﺒﺪﻳﻞﻳﺎﻓﺘﻪ ﺑﺎزﺳﺎزی ﻧﻤﻮد. ﻓﺮض ﻛﻪ (f(t و(g(t دو ﺗﺎﺑﻊ در ﻓﻀﺎی دوﺑﻌﺪی ﺑﺎﺷﻨﺪ. ﺿﺮب داﺧﻠﻲ اﻳﻦ دو ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻧﺸﺎن داده ﻣﻲ ﺷﻮد
(ft,g(t)= ftg*tdt (2-11)
ﺑﺮ اﻳﻦ اﺳﺎس، راﺑﻄﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺿﺮب داﺧﻠﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل و ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﺑﻪ ﻓﺮم زﻳﺮ ﻧﻮﺷﺖ:
CWTxΨτ,s= 1s -∞+∞xtΨ*(t-τs)dt = xt,Ψr,st (2-12)

ﻛﻪ در آن :
Ψr,st=1sΨ(t-τs) (2-13)
ﺑﺎ ﺗﻌﺮﻳﻒ اراﺋﻪ ﺷﺪه در راﺑﻄﻪ (2-13) ﻛﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺿﺮب داﺧﻠﻲ ﺑﻴﺎن ﺷﺪه اﺳﺖ، ﻣﻲ ﺗﻮان اﻳﻦ ﮔﻮﻧﻪ ﺑﺮداﺷﺖ ﻛﺮد ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک در ﺣﻘﻴﻘﺖ اﻧﺪازهﮔﻴﺮی ﺷﺒﺎﻫﺖ ﺑﻴﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل و ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ( موجک ها) اﺳﺖ. ﻣﻨﻈﻮر از ﺷﺒﺎﻫﺖ در اﻳﻦ ﺑﺤﺚ، ﺷﺒﺎﻫﺖ ﺳﻨﺠﻲ ﺑﻴﻦ ﻣﺤﺘﻮای ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ اﺳﺖ. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن دﻳﮕﺮ، ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻴﺎﻧﮕﺮ ﻣﻴﺰان ﻧﺰدﻳﻜﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ موجک در ﻣﻘﻴﺎس ﻣﻮردﻧﻈﺮ اﺳﺖ. ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ، اﮔﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﻳﻚ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻣﻘﻴﺎس ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ، در اﻳﻦ ﺻﻮرت وﻳﻮﻟﺖ ﻣﻘﻴﺎس ﺷﺪه، ﺷﺒﻴﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺿﺮﻳﺒﻲ از ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﻣﻘﻴﺎس ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد ﻣﻘﺪاری ﻧﺴﺒﺘﺎً ﺑﺰرگ ﺧﻮاﻫﺪ داﺷﺖ.
ﻫﻤﺎﻧﮕﻮﻧﻪ ﻛﻪ ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ ﺑﻴﺎن ﺷﺪ، در ﻫﺮ ﻓﻀﺎ ﺑﻴﺶ از ﻳﻚ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ وﺟﻮد دارد ﻛﻪ از ﺑﻴﻦ آنﻫﺎ، ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ از اﻫﻤﻴﺖ وﻳﮋه ای ﺑﺮﺧﻮردارﻧﺪ ﭼﺮا ﻛﻪ ﺧﻮاص ﺑﺴﻴﺎر ﺧﻮب و ﺗﺴﻬﻴﻞ ﻛﻨﻨﺪه ای ﺑﻪوﻳﮋه در ﻳﺎﻓﺘﻦ ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺧﻮاﻫﻨﺪ داﺷﺖ. ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺎن، ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺗﻌﺎﻣﺪ ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ، ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ در راﺑﻄﻪ (2-14) ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ:
ak= (ft,g(t)= ftϕk*tdt (2-14)
ﺑﺎ داﺷﺘﻦ اﻳﻦ ﺿﺮاﻳﺐ، ﻣﻲ ﺗﻮان ﺗﺎﺑﻊ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺎزﺳﺎزی ﻧﻤﻮد:
ft= k=1Nakϕkt= k=1N(ft,ϕk(t)ϕkt (2-15)
در ﻛﻨﺎر اﻳﻦ ﺧﻮاص ﺗﺴﻬﻴﻞ ﻛﻨﻨﺪه، ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﻛﺎرﺑﺮد، ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ در دﺳﺘﺮس ﻧﺒﺎﺷﺪ. در اﻳﻦ ﻣﻮاﻗﻊ ﻣﻲﺗﻮان از ﭘﺎﻳﻪ ﻫﺎی دوﻣﺘﻌﺎﻣﺪ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮد در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ اﮔﺮ ﭘﺎﻳﻪ ﻫﺎی دوﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻧﻴﺰ ﻣﻮﺟﻮد ﻧﺒﺎﺷﺪ، ﻣﻲ ﺗﻮان از ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﺗﺮی ﺗﺤﺖ ﻋﻨﻮان ﻓﺮﻳﻢ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮد.
5-2 ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک پیوسته
در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ، ﺑﻪ ﻃﻮر ﺧﻼﺻﻪ، راﺑﻄﻪ ﻣﻌﻜﻮس ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک و ﺷﺮط ﻻزم ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ ﺑﻮدن اﻳﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ را از دﻳﺪﮔﺎه رواﺑﻂ رﻳﺎﺿﻲ ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ. ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺷﺪه در راﺑﻄﻪ (2-15) ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ ﻫﺮﮔﺎه:
Ψtdt=0 (2-16)

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *